面向对象设计与构造第二次作业

题目描述

本次作业需要完成的任务为：读入自定义递推函数的定义以及一个包含幂函数、三角函数、自定义递推函数调用的表达式，输出恒等变形展开所有括号后的表达式。

在本次作业中，展开所有括号的定义是：对原输入表达式 \(E\) 做恒等变形，得到新表达式 \(E'\)。其中， \(E'\) 中不再含有自定义递推函数，且只包含必要的括号。

迭代内容概览

在第一次作业基础上，本次迭代作业增加了以下几点：

本次作业支持嵌套多层括号。
本次作业新增三角函数因子，三角函数括号内部包含任意因子。
本次作业新增自定义递推函数因子。

基本概念（新增）

基本概念的声明

因子
- 三角函数
  - 一般形式：类似于幂函数，由 sin(<因子>) 或 cos(<因子>) 、指数符号 ^ 和指数组成，其中指数为符号不是 - 的整数，如：sin(x) ^ +2。
  - 省略形式：当指数为 1 的时候，可以采用省略形式，省略指数符号 ^ 和指数部分，如：sin(x)。
  - 本指导书范围内的“三角函数”仅包含 sin 和 cos。
- 自定义递推函数
  - 自定义递推函数的定义形如
```
f{n}(x, y) = 递推表达式
f{0}(x, y) = 函数表达式
f{1}(x, y) = 函数表达式
```
    三者顺序任意，以换行分隔。递推表达式和函数表达式的定义见“形式化表述”部分。定义中默认 \(n>1\)。
    例如：
```
f{0}(y) = y
f{1}(y) = 1
f{n}(y) = 1*f{n-1}(sin(y)) - 4*f{n-2}(y^2) + 1
// or
f{0}(x, y) = x - y
f{n}(x, y) = 0*f{n-1}(x, y) + 35*f{n-2}(x, y^2)
f{1}(x, y) = x^3 + y
```
  - f 是递推函数的函数名。在本次作业中，保证函数名只使用 f，且每次只有 1 个自定义递推函数。 n 、0 、 1 是递推函数的序号。
  - x、y 是递推函数的形参。在本次作业中，形参个数为 1~2 个。形参只使用 x，y，且同一函数定义中不会出现重复使用的形参。对一个自定义递推函数的定义来说，f{n}、f{n-1}、f{n-2}、…、f{1}、f{0} 等一系列函数的形参统一，不会出现同一系列中函数形参不同的情况。
  - 递推表达式是一个关于形参的表达式，保证其中 f{n-1} 和 f{n-2} 各被调用且只被调用 1 次，并且调用前需要和一个常数因子相乘。本次作业保证没有其他函数调用。函数表达式是一个关于形参的表达式。二者的一般形式见形式化定义。
  - 自定义递推函数的调用形如 f{序号}(因子, 因子)，比如 f{3}(x^2)，f{5}(-1, sin(x^2))。

设定的形式化表述

自定义递推函数相关

自定义递推函数定义 → 定义列表
定义列表 → 初始定义换行初始定义换行递推定义 | 初始定义换行递推定义换行初始定义 | 递推定义换行初始定义换行初始定义
初始定义 → 'f' '{' 初始序号 '}' 空白项 '(' 空白项形参自变量空白项 [',' 空白项形参自变量空白项] ')' 空白项 '=' 空白项函数表达式
初始序号 → '0' | '1'
递推定义 → 'f{n}' 空白项 '(' 空白项形参自变量空白项 [',' 空白项形参自变量空白项] ')' 空白项 '=' 空白项递推表达式
序号 → '0'|'1'|'2'|'3'|'4'|'5'
形参自变量 → 'x' | 'y'
自定义递推函数调用 → 'f{' 序号 '}' 空白项 '(' 空白项因子空白项 [',' 空白项因子空白项] ')'
自定义递推函数调用n-1 → 'f{n-1}' 空白项 '(' 空白项因子空白项 [',' 空白项因子空白项] ')'（注：本次作业中此处的因子不允许出现任何函数调用）
自定义递推函数调用n-2 → 'f{n-2}' 空白项 '(' 空白项因子空白项 [',' 空白项因子空白项] ')'（注：本次作业中此处的因子不允许出现任何函数调用）
递推表达式 → 常数因子空白项 '*' 空白项自定义递推函数调用n-1 空白项加减空白项常数因子空白项 '*' 空白项自定义递推函数调用n-2 [空白项 '+' 空白项函数表达式]
函数表达式 → 表达式（将自变量扩展为形参自变量） (注：本次作业中函数表达式不允许出现任何函数调用)